大学物理做题总结 v0.1

热学第一定律

分析 $p-v$ 图，看清图上点和线的物理意义(它们温度、压强和体积的值是多少、有没有变化、以及它们的过程都是准静态过程)，利用 $pv=nRT$ 这个公式 进行高中式的分析

注意从 $p-v$ 图上一个点到另外一个点之间变化的内能变化($\Delta E$)是一定的，不一样的只是气体对外做功和吸热的不一样: $Q(从外界吸热量)=\Delta E(气体内能变化量) + W(气体对外做功量)$

气压的单位 $1atm=1.01 \times 10^{5}Pa$

注意这一章的式子不一定非要知道具体值是多少(比如$pv=nRT$ 的 $nR$是多少)要多利用在一定质量下 $状态1=状态2$ 这个性质列出等式(比如$\frac{p_{1}v_{1}}{T_{1}}= \frac{p_{2}v_{2}}{T_{2}}$)

涉及到具体的一定质量的气体时，就要用到下面的表格，别忘了分析当前环境(绝热?存在真空?等温度?等体积?等压?)

条件	物理意义	公式	关键点
无	$气体内能变化=气体摩尔数\times 等体热容\times温度变化$	$\boxed{dE= nC_{v,m}dT}$	就是求温度变化和内能的关系
等压变化下	等压变化下，$气体吸收热量=气体摩尔数\times 等压热容\times温度变化$	$\boxed{dQ= nC_{p,m}dT}$	等压条件下，温度变化和吸热量的关系

	公式	单原子分子(自由度i=3)	双原子分子(自由度i=3+2=5)
等体热容 $C_{v,m}$	$\frac{i}{2}R$	$\frac{3}{2}R$	$\frac{5}{2}R$
等压热容 $C_{p,m}$	$\frac{i+2}{2}R$	$\frac{5}{2}R$	$\frac{7}{2}R$
热容比 $\gamma$	$\frac{i+2}{i}$	$\frac{5}{3}$	$\frac{7}{5}$

$R=8.31$	注意温度可以用$T=\frac{PV}{nR}=\frac{MPV}{mR}$求得

绝热过程	体积和压强的关系	$\boxed{P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}}$
	体积和温度的关系	$\boxed{T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}V_{2}^{\gamma-1}}$
	求气体对外界做的功	$\boxed{W=\frac{1}{\gamma-1}(P_{1}V_{1}-P_{2} V_{2})}$

小心真空的情况，气体在真空中膨胀，不对外做功，从外界吸收热量就等于气体内能变化量
如果存在真空，一定要对气体膨胀到真空这个过程分个段单独讨论

真空 + 绝热	不对外做功，温度、内能不变	等温变化

面对两个气体的容器，找准接触面压强相等，如果正难则反

利用热机$E$ 让 高温热库$T_{1}$ 放热到 低温热库$T_{2}$ 来做功的循环效率

$$\begin{align*} n=1- \frac{Q_{2}(排出到低温热库的废热量 )}{Q_{1}(从高温热库吸收的热量)}=如果是卡诺循环:1- \frac{T_{2}(低温热库)}{T_{2}(高温热库)}\\\\ 而且: \boxed{Q_1=Q_{2}+A}也就是\boxed{从高温热库吸收的热量=排出到低温热库的废热+做的有用功} \end{align*}$$

利用对制冷机$R$ 做功从 低温热库$T_{2}$ 吸收热量 到 高温热库$T_{1}$ 的逆循环效率

$$\begin{align*} \omega = \frac{A(对制冷机R做的功)}{Q_{2}(从低温热库吸收的热量)}=如果是卡诺逆循环: \frac{T_{2}(低温热库)}{T_{2}-T_{1}(高温热库-低温热库)}\\ \\ 而且: \boxed{Q_1=Q_{2}+A}也就是\boxed{让高温热库更热的热量=对制冷机做的有用功 + 从低温热库吸收的热量} \end{align*}$$

注意单位，$1L=10^{-3}m^{3}$

遇到一个过程线的方程，代入$PV=nRT$ 消去 $P$，对$V,T$ 微分得到$dQ$ 和$dV,dT$ 的关系

注意卡诺循环的效率是最高的，可以用不等式来求一些热量的合理取值范围
计算热机效率时要看清循环图哪一段是吸热的，哪一段是放热的
2

热学第二定律

在计算熵时，看清楚有几个系统，然后先选定一个系统，找到一个可逆变化，看清楚楚热量和温度的关系；直到所有系统都分析好

注意，热量从一个系统传递到另一个系统时，总的熵要是两个系统量之和
比如你的身体放热到环境中，你产生的总熵是你自己放热的熵(反正算出来就是个负数) 和环境**吸热的熵(反正算出来就是个正数)**之和(正负之分来自于温度上下限的位置)

计算常用公式(可逆变化!!)
$dQ=T·dS$ 和 $S=\int \frac{dQ}{T}$	配合$dQ=C/C_{p,m}·m·dT$、$Q=\Delta E + A$
$$\Delta S=nC_{p,m}\ln(\frac{T_{2}}{T_{1}})-nR\ln(\frac{P_{2}}{P_{1}})$$	给出了摩尔量，或者可以用$P,V,T$那个气体方程计算出$nR$的值
$$\Delta S=nC_{v,m}\ln(\frac{P_{2}}{P_{1}})+nC_{p,m}\ln(\frac{V_{2}}{V_{1}})$$
$$\Delta S=nC_{v,m}\ln(\frac{T_{2}}{T_{1}})+nR\ln(\frac{V_{2}}{V_{1}})$$

水的比热容是$4.18\times 10^{3}$

气体绝热自由膨胀温度不变，

电场

点电荷电场的叠加

应用高斯定理时，注意看清球内或者筒内的点电荷之和为 0，别漏了这一种情况

遇到三角函数积分代入上下限为零的情况，建系来让电场分解成x方向和y方向，来分别用 $\theta$ 角度进行积分，来防止三角积分=0

高斯定理

1. 首先遇到有球、柱、平面对称的某些电荷分布要想起来
   1. 然后要分析好电场的对称性(球对称、柱对称、平面对称)来选取不同的高斯面
2. 高斯面要通过你选定距离那个物体的点，并且面的法向量和电场方向一样(去掉矢量箭头)
3. 注意高斯面通量为 0 的两种情况
   1. 电场为零(静电平衡的导体)
   2. 电场方向垂直面的法向量

电偶极子
电矩	$\vec{p}=q\vec{l}$

$\displaystyle E=-\frac{d\phi}{dx}$ 或者 $\displaystyle \Delta \phi=\int E \, dx$

常见模型	电场( $x>0$ )	电势	特点
半径为 $R$ 的圆盘	$\displaystyle E=\frac{\sigma }{2\varepsilon_{0}}(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+R^{2}}})$	$\displaystyle \varphi=\frac\sigma{2\varepsilon_o}((x^2+R^2)^{1/2}-x)$
半径为 $R$ 的圆环	$\displaystyle E=\frac{qx}{4\pi\varepsilon_o(x^2+R^2)^{3/2}}$	$\displaystyle \varphi=\frac q{4\pi\varepsilon_o\left(x^2+R^2\right)^{1/2}}$
无限大平面	$\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$		用得最多，在平行板导体静电平衡后，把表面单独看成薄平面
无限大厚度为 $d$ 的平板	$\displaystyle E=\begin{cases}\frac{\rho d}{2\varepsilon_{0}}\left(x>\frac{d}{2}\right)\\ \frac{\rho x}{\epsilon_{0}}(0 \le x \le \frac{d}{2})\end{cases}$
无限长细棒	$\displaystyle E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}x}$	$\displaystyle \varphi=\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{x_0}x,\quad\varphi_{x_0}=0$
均匀球壳	$\displaystyle E=\begin{cases}\frac q{4\pi\varepsilon_{0} x^{2}}(x>R) \\ 0 (x<R)\end{cases}$	$$\varphi=\begin{cases}\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}x}(x \ge R) \ \frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}R}(x<R) \end{cases}$$	在球面外，等效为点电荷，和点电荷的电场和电势一样；在球面内，电场为零，电势为固定值保持不变(点电荷在球面半径处的电势值)
均匀球体	$\displaystyle E=\begin{cases}\frac q{4\pi\varepsilon_{0} x^{2}}(x>R) \\ \frac {qx}{4\pi\varepsilon_{0} R^{3}}=\frac{\rho}{3 \varepsilon_0}(x<R)\end{cases}$
把一个带正电的球体挖一个空腔，那么有空腔的带电球体的电场等于带正电球体，叠加同样体电荷密度的带负电空腔

如果已知一个粒子的电荷体密度分布，如果只有到中心点的距离 $r$ 作为变量，可以从公式看出粒子的电荷是球对称的，应该选取球面作为高斯面。并且选取球外壳($4\pi r^{2}dr$)作为积分微元

画 $E-x$ 图，要把负半轴的图也画出来

电场线穿入通量为负，穿出通量为正

要求某一点被叠加之后的场强，先算一个一般的 $x$ 场强公式，再代入那一点的 $x$ 值
遇到电偶极子，两处电场函数值之差，使用中点的导数近似代替两处电场函数值之差

电偶极子还可能结合转动出考题，电场力做功等于力矩做功

物理常数	值
$\varepsilon_{0}$	$8.85\times 10^{-12}$

判断电荷在受力平衡点会不会稳定，要把电荷受力的公式写出来，再对受力的公式求导，如果$\frac{dF}{dx}>0$ 那么当电荷有一点运动之后会逐渐受力偏移以致于不稳定，如果 $\frac{dF}{dx}<0$ 那么就会保持稳定

有时要先设出来一个物理量，再用其他已知量来表示它。比如已知压降，要求电场，设出来电荷量，进而用设出来的电荷量表示电场，再用电场积分得到压降

用高斯面的时候，要记住取到$x=x_{0}$ 上开始的包围带电体的曲面所有面(包括$x<0,x=-x_{0}$ 的部分)

电势

可以用点电荷的电势，叠加求得总电势

$\displaystyle\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}=9\times10^{9}$

只是出现两物体之间的电压，要求两物体之间的电场，先设出来电荷密度，用设出来的电荷密度表示电场，再用电场路径积分表示压降，消去或者解出来设出来发电荷密度

有导体存在时，外加静电场使得导体表面产生电荷，计算导体表面的电荷面密度

利用电场的路径积分求电势，当遇到实心带电体时，不要忘记当 $x>a$ 之后，从$\int_{x}^{0}$ 的电场强度会变的，要分段计算在实心外的电场和在实心里的电场

静电场中的导体

静电平衡后导体的性质
导体静电平衡时，电荷都不在移动，电荷全部分布在内外表面，导体内部没有电荷。	$\boxed{E_{in}=0,E_{S}垂直表面}$
静电平衡后，导体的表面是等势面，导体内部电势相等，这时后看导体，要忽略导体内部等电势的部分，就是拿导体的内外表面作为带电薄面进行分析。
静电平衡后 $\displaystyle E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ 这是导体所有表面电荷对外产生电场的综合效果。适用于只知道总电荷量和总电荷密度。	注意区分如果遇到把 1 个平行板拆开成 2个薄平面单独电荷的话，要考虑所有薄平面的 $\displaystyle E_{i}=\frac{\sigma_{i}}{2\varepsilon_{0}}$
被导体包围的电荷，受到的电场力为 0，因为静电屏蔽了

不要纠结导体表面电荷的正负，直接设由静电场使得导体表面产生电荷的面密度为 $\sigma_{1},\sigma_{2}$
是带正电的。如果导体没有接地，就直接对导体使用电荷守恒 $\displaystyle 0=\sigma_{1}S_{1}+\sigma_{2}S_{2}$
然后把各个表面看成独立带电的表面，利用各个表面产生的电场在导体内部叠加之和为 0 列方程。

不能对接地后的导体电荷不等于接地前的情况，但是接地的导体电势为 0

遇到很多平行薄面间隔摆放的题目，要先获得每个板的电荷密度。
已知电荷密度之后，就可以来用叠加定理求场强，进而求电压了

遇到导体嵌套导体的情况，要从里往外分析，先选择导体内部的高斯面。静电平衡后，导体内部的电场 $\displaystyle E=0$，所以导体内部的高斯面电通量 $\Phi$ 为 0，所以可以得到高斯面里面的总电荷 $\displaystyle Q_{总}$ 为 0 这个方程。再利用导体原来电荷的守恒进行计算

有时候会遇上接地的情况，接地的导体电势为 0 但是总的电荷量不确定，要设总电荷量为 $\displaystyle Q$然后再先设出一个表面的电荷，另一个表面的电荷由电荷守恒计算得到。
比如内表面电荷为 $Q_{1}$，然后外表面电荷为 $Q-Q_{1}$
之后再分析其他导体的电荷 $\displaystyle Q_{其他}$，再用其他导体的电荷 $\displaystyle Q_{其他}$，接地导体内表面电荷 $Q_{1}$ 和外表面电荷 $Q-Q_{1}$，这些所有的电荷在接地导体处电势为 0 进行计算，解方程得到 $Q、Q_{1}$

有时候会遇到有两块板用导线相连的电势相等，或者两个板都接地的电势都等于 0
所以从一个地方各到这两块板的各个电势差相同

有时候会遇到用导线连接两个嵌套的球壳导体的情况。
如果 $\displaystyle A$ 薄球壳套 $B$ 球壳，那么 $A$ 球的电势 $\displaystyle\phi_{A}=\frac{1}{4\pi \varepsilon}\left( \frac{Q_{A}}{R_{A}}+\frac{Q_{B}}{R_{B}} \right)$
$\displaystyle B$ 球的电势 $\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon}\left( \frac{Q_{A}}{R_{B}}+\frac{Q_{B}}{R_{B}} \right)$ 当 $\displaystyle A$ 和 $\displaystyle B$ 接触、或用导线连的时候，电荷守恒，内部的薄球壳 $\displaystyle A$ 的电荷都跑到外部的薄球壳 $\displaystyle B$ 上面，所以此时 $\displaystyle B$ 的电势还是 $\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon}\left( \frac{Q_{A}+Q_{B}}{R_{B}} \right)$保持不变

注意薄面和板的区别，板上下表面两个面都要区分标好电荷。

在已知电荷和电压要求能量时，要想起来这个公式 $\displaystyle W=qU$
如果给了这样一个条件「每天消耗 $\displaystyle 200kwh$ 」要想起来功率可以表示成 $\displaystyle \frac{200\times 10^{3}\times 3600 J}{1 \text{天}}$

要注意镜像法，一个点电荷遇到接地的无限大平板求电场，等效于做对称的异性点电荷的电偶极子的电场

注意电场和电势随距离变化的那个图

电介质

先从 $\displaystyle q_{0}$ 推出 $\displaystyle D$ 的大小，取个高斯面利用 $\displaystyle D$ 的高斯定理求 $\displaystyle D$ 的表达式

再从 $\displaystyle D$ 推出 $\displaystyle E$ 的大小
然后再根据每个地方的介质找到对应的介电常数 $\displaystyle \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ 来求得各个地方的电场
这里要理解一下，电场在真空($\displaystyle \varepsilon_{0}$)和电介质($\displaystyle \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$)都可以统一用 $\displaystyle D$ 和介电常数表征
比如 $\displaystyle E_{真空中}=\frac{D}{\varepsilon_{0}}$ 和 $\displaystyle E_{电介质中}=\frac{D}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}$

进而可以从 $\displaystyle E$ 推导出电势和电压差 $\displaystyle U$ 的大小
如果已知电压差 $\displaystyle U$ 而不知道导体电荷 $\displaystyle q_{0}$，可以先假设一个电荷密度 $\displaystyle \sigma_{0}$ 然后用 $\displaystyle \sigma_{0}$ 表示电压差 $\displaystyle U$ 进而用 $\displaystyle U$ 解出 $\displaystyle \sigma_{0}$

以及可以求介质表面的感应电荷密度 $\displaystyle \sigma'=\mathbf{P}·\mathbf{e_{n}}=\varepsilon_0(\varepsilon_{r}-1)E$
注意电荷的正负使得电场的方向不和这个 $\mathbf{P}·\mathbf{e_{n}}$ 方向一样

电容器	电场大小	电容大小		串联
平行板电容器	$\displaystyle E_{0}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}·(\varepsilon_{r})·S}$	$\displaystyle C=\frac{\varepsilon_{0}·(\varepsilon_{r})·S}{d}$	$\displaystyle E=\frac{E_{0}}{\varepsilon_{r}}$	$\displaystyle \boxed{C=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$

恒定电流

常用公式
$\displaystyle J=\frac{I}{S}$
$\displaystyle E=\rho J$	在电流 $\displaystyle I$ 入地，已知 $\displaystyle I$ 要求地面上任意间隔的 $\displaystyle U$ 时利用	$\displaystyle J=\sigma E$
$\displaystyle \sigma=\frac{1}{\rho}$
$\displaystyle J=nve$

求电容器的漏地电阻，使用 $\displaystyle dR=\rho \frac{dr}{S(r)}$ 然后看清楚 $\displaystyle r$ 的变化范围进行积分

如果电流通过一个导线入地，由于地面均匀，电流以半球形扩散，则此时要引入电流密度分析
$\displaystyle J=\frac{I}{S_{半球}}=\frac{I}{2\pi r^{2} }$，再配合 $\displaystyle E=\rho J$ 求得地面中的电场，进而可以去求地面上任意两点的电势差

磁场

$\displaystyle \oint_{S}B·dS=0$ 磁通连续定理，表明没有单独的磁场存在

计算磁场需要找一个电流元 $\displaystyle Idl$，然后结合 $\displaystyle Id\vec{l}$ 的方向($\displaystyle I$ 和 $\displaystyle l$ 是同向的)和从电流元到距离为 $\displaystyle r$ 的点的方向，叉乘可以得到这个电流元产生的磁场 $\displaystyle dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{Id\vec{l}\times \vec{e_{r}}}{r^{2}}$

注意这里的关键是电流元 $\displaystyle Idl$ 的获取，注意这里表示的 $\displaystyle I$ 是流经这 $\displaystyle dl$ 微元的电流。

1. 有些时候条件是给电流密度 $\displaystyle J$ ($\displaystyle J=\frac{面上的电流}{流经横截面}$)的，要乘一些微元得到微元电流
2. 或者是面电流密度 $\displaystyle j$ ($\displaystyle j=\frac{dI}{dL}=\frac{薄面截线的线上电流}{截线的长度}$)
3. 给一整块面上的 $\displaystyle I$ 平均分布的，需要换算成电流密度之后乘一些微元得到微元电流
4. 或者是电荷量或电荷密度 + 运动的速度，注意先要转换成微元电流 $\displaystyle dI=\frac{dq}{T}$

记得看清楚有几段在提供磁场，然后确定好方向

常见磁场源	公式	特殊情况
线段，线上电流为 $\displaystyle I$	垂直距离线段 $\displaystyle x$ 处 $\displaystyle B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi x}(\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2})$ 注意 $\displaystyle \theta$ 是电流元方向和到那个点方向的夹角	双端无限长的直线 $\displaystyle B=\frac{\mu}{2\pi} \frac{I}{x}$	单端无限长的射线 $\displaystyle B=\frac{\mu}{4\pi} \frac{I}{x}$
圆环，环上电流为 $\displaystyle I$	在轴线上 $\displaystyle x$ 处，圆环一点到那点距离为 $\displaystyle r$ $\displaystyle B=\frac{\mu_{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}=\frac{\mu_{0}m}{2\pi r^3}$	圆环中心点处 $\displaystyle B=\frac{\mu_{0}I}{2R}$	遇到拆解圆环的要注意
螺旋管，单个线圈电流为 $\displaystyle I$，单位长度上有 $\displaystyle n$ 匝	在轴线 $\displaystyle x$ 处 $\displaystyle B=\frac{\mu_{0}nI}{2}(\cos \beta_{2}-\cos \beta_{1})$	无限长的螺线管 $\displaystyle B=\mu_{0}nI$	半无限长的螺旋管 $\displaystyle B=\frac{1}{2}\mu_{0}nI$
无限大平面，面电流密度均匀(与电流方向垂直的线密度 $\displaystyle j$) 两侧 0=	$\displaystyle B=\frac{\mu_{0}j}{2}$
螺绕环，共有 $\displaystyle N$ 匝线圈，线圈电流为 $\displaystyle I$	在距离圆心 $\displaystyle r$ 处 $\displaystyle B=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r}$

磁矩

磁矩 $\displaystyle m=NIS$ 方向就是电流右手螺旋的方向，磁矩一般在涉及到圆的时候使用，用 $\displaystyle d\alpha$ 作为微元。这时候常利用 $\displaystyle Rd\alpha=dl\cos \theta$ 之类的，把电流元转换成磁矩

安培环路定理(恒定电流)

$\displaystyle \oint_{C}B·dr=\mu_{0}nI$ 就是磁场环路和它包围电流的关系，约定磁场和电流成右手螺旋方向为正

通常是要先进行对称性分析，一般是可以直接用 $\displaystyle B·C$ 求出磁场环路，不用积分
然后根据对称性选择合适的对称环路，再分解磁场的方向计算 $\displaystyle B·C$
注意 $\displaystyle B$ 和环路中某一段垂直得到 0，或者注意某些段 $\displaystyle B$ 直接等于 0

电流导体的对称性	环路形状
球对称、圆柱对称	圆形环路
面对称	长方形环路	有两段 $\displaystyle B·C=0$

运动时，平时一些没有磁场的导线段也有磁场

有时候电流要根据电阻分流来求，而电阻又和占的比例长度有关，这时候磁场的公式也和占的比例长度有关

求磁通量利用对称性，或者一个一个通量求完再叠加。

磁场遇到对称性，使用安培环路定理

磁场也可以叠加

磁力

带电粒子在磁场中
$\displaystyle R=\frac{mv_{⊥}}{Bq}$	$\displaystyle h=v_{∥}T$	$\displaystyle T=\frac{2\pi m}{Bq}$

当粒子向磁场增强的方向运动时，会遇到像弹簧一样的反向力，可能导致反弹

霍尔效应	$\displaystyle vB=E_{H}$	$\displaystyle E_{H}h=U_{H}$ $\displaystyle U_{H}$ 在高 $\displaystyle h$ 的两面	$\displaystyle I=n(b·h)qv$ $\displaystyle b$ 是磁场穿过的长度	$\displaystyle U_{H}=\frac{1}{nq} \frac{IB}{b}$	$\displaystyle I$ 流过的横截面是 宽 $\displaystyle \times$ 高 $\displaystyle b\times h$
质谱仪	$\displaystyle vB_{1}=E$	$\displaystyle \frac{L}{2}=\frac{mv}{B_{2}q}$	$\displaystyle \frac{q}{m}=\frac{E}{B_{1}B_{2}\left( \frac{L}{2} \right)}$
回旋加速器	$\displaystyle T=\frac{2\pi m}{Bq}$	$\displaystyle \frac{D}{2}=\frac{mv_{MAX}}{Bq}$
选择器	$\displaystyle vB=E$

在计算不规则的导线受力时 $\displaystyle dF=Idl\times B$ 注意，这里的 $\displaystyle I$ 和 $\displaystyle B$ 是电流元所在处的当地 $\displaystyle B$
并且在分析 $\displaystyle A$ 受的磁力时，要忽略 $\displaystyle A$ 自己电流产生的磁场，只分析外界产生的磁场。注意考虑对称性，对 $\displaystyle dF$ 的方向进行分解

如果磁场是均匀的，那么可以对导线进行等效等效电流有效长度，如果磁场不是均匀的，就不能这样子。

注意在匀强磁场中，闭合线圈受的磁力为 0，但是磁力矩不为 0

磁力矩和功

磁力矩可以用磁矩求 $\displaystyle \boxed{\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}}$，推荐使用这个，这里需要的 $\displaystyle m=NIS$
当然也可以分部计算安培力，再求力矩，但是比较麻烦

$\displaystyle \vec{m}$ 和 $\displaystyle \vec{B}$ 的方向	相同	相反	垂直
状态	稳定平衡	不稳定平衡	磁力矩最大

闭合线圈的磁力矩做功微元 $\displaystyle dA=\begin{cases}Id\Phi \quad (增量，末-初) \\ Md\theta \end{cases}$
注意磁力矩做正功时，和 $\displaystyle \theta$ 是增大还是减小的关系来判断正负号

洛伦兹力不做功，实际上磁力矩做功的来源是电源提供的

两根载流导线，同向相吸，异向相斥

磁介质

下面讨论的 $\displaystyle \mu_{r}\mu_{0}$ 大概在 1 的附近

面电流强度是 $\vec{j_{S}'}$， $\displaystyle \vec{j_{S}'}=\vec{M}\times \vec{e}_{n}$，其中 $\displaystyle M$ 是磁化强度，这个公式用来判断面电流密度的方向，很重要

$\displaystyle \oint \limits_{L} H ·d\vec{l}=\sum I_{0内}$	$\displaystyle H= \frac{\vec{B}}{\mu_{0}}-\vec{M}$
真空中	$\displaystyle B_{0}=\mu_{0}H$	$\displaystyle M=0$
磁介质中	$\displaystyle B_{r}=\mu_{r}\mu_{0}H$	$\displaystyle M=(\mu_{r}-1)H$

如果环路中出现了磁介质，先大概判断磁场的方向，然后选择对称的环路用 $\displaystyle I_{0内}$ 求出 $\displaystyle H$，再利用 $\displaystyle H$ 求出 $\displaystyle M$ 和 $\displaystyle B$，就可以利用 $\displaystyle \vec{j_{S}'}=\vec{M}\times \vec{e}_{n}$ 求出 $\displaystyle \vec{j_{S}'}$

类似于电介质，在两个磁介质界面处，一定会存在磁化电流

电磁感应