多重积分
笔记来源 |
讲课老师 |
中山大学工科高数课堂 |
@杨奇林 |
多重积分要学会认识退化,把多重积分退化成二重积分,二重积分退化从一重积分
要知道把区域从标准的形状退化成特殊的情况
要重点记忆二重积分和三重积分几个经典模型的图形,要先认清那些图形来找到对应的方法
至于计算那就是后话了
一定要注意对称性,一定要注意对称性,一定要注意对称性,一定要注意对称性,一定要注意对称性,一定要注意对称性,一定要注意对称性,一定要注意对称性
区域对称性 |
被积函数对称性 |
化简的效果 |
提示 |
关于x 偶对称 |
有关于x 奇对称的部分 |
那一部分积分值为0,不用算 |
关于积分区域关于 x 和y 都是偶对称的情况也适用,注意找全可以消掉的地方 |
关于x 偶对称 |
有关于x 偶对称的部分 |
那一部分的积分上下限可以缩减一半,只用积分值×2 来补充,一般用来去掉绝对值 |
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关于x 和y 都是偶对称 |
有关于x 和y 都是偶对称的部分 |
那一部分的积分上下限可以缩减到41,只用积分值×4 来补充,一般用来去掉绝对值 |
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计算二重积分D∬f(x,y)dxdy
二重积分的几何意义就是求一个底面区域到顶面的体积,其中的被积函数就是顶面的方程、积分范围是底面区域、面积微元就是底面区域的面积微元
计算二重积分的关键就在于抓准底面区域的边界
一定要注意区域边界退化的情况(线退化成点,面退化成线)
D∬f(x,y)dxdy=底面区域{选x−区域,把x看成常数,把y积掉:∫abdx[∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy]选y−区域,把y看成常数,把x积掉:∫cddy[∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx]
记忆这个公式的方法就是,选定区域后先写最外面的一层积分,最外面的一层积分是常数。
然后再写里面的对被积函数的积分,里面的积分上下限是根据区域边界的函数线。
注意写积分上下限的时候要注意方向(这个看区域边界的方向)
对于一般的多重积分,要从最里面的往外开始计算(三重积分化简到二重积分里面用得到)
∫abdx∫cddy∫ϕ1(x,y)ϕ2(x,y)f(x,y,z)du
要先计算最里面的那个
1.首先找准被积函数f(x,y)
看准被积函数f(x,y)是长啥样的,注意分析f(x,y)的x,y 变量是否是相互独立的
如果发现x,y,z 是相互独立的,原来按顺序积分的二重积分就可以化简成两个相乘的一重积分
因为x,y,z相互独立,所以f(x,y,z)=p(x)g(y)h(z)D∬f(x,y,z)dxdydz=∫p(x)dx∫g(y)dy∫h(z)dz
比如f(x,y)=ex+y 就是相互独立的,可以拆成f(x,y)=ex.ey
然后再看看被积函数f(x,y) 关于x,y 变量是不是奇对称或者偶对称的,注意这一步可以先把整体的f(x,y) 看着拆分成一个个关于x 或y 的小单元,只要有一个单元有对称性就是胜利
2.然后分析D区域的边界
一定要通过分析各个积分上下限列出各个变量的不等式,然后把区域D 画图画出来
之后好好分析区域的边界
注意,还要根据积分上下限得出的描述区域的方程看一下,区域D 是否关于x,y 变量具有奇对称or偶对称,如果有对称性就是幸运中的幸运
在xoy 平面中,这些区域的边界就是 过轴上两个点的竖线+两条函数线
也就是说 x−区域 就是 过x轴上两个点的竖线+两条y=ϕ(x)函数线
相应的 y−区域 就是 过y轴上两个点的竖线+两条x=ϕ(y)函数线
注意区域边界从线退化成点的情况(就比如矩形退化成三角形,有一条线退化成点),也就是说对于那两条竖线,有时候不一定只有 x=Const 或者 y=Const 之类的符合区域图形的竖线,有时候也要把它们看成过区域图形某个点的切线
然后决定是以 x−区域 还是 y−区域 去做,注意看清 x,y 变量的取值范围
最好选择的区域的函数曲线是统一的线形,尽量不要有分段函数(如果没办法的话,注意最外层的拆分积分上下限来对应不同的曲线来做)
3.先写∫abdx或者∫cddy
这个积分号上下限的顺序很重要,这个上下限一定要是常数
而且它们的顺序就反应了区域边界的顺序,越靠近坐标轴的边界越大(选择上限的位置)
4.再根据区域边界的函数曲线方程反解,然后写∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy或者∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx
如果之前写的是∫abdx,就根据方程反解出{y=ϕ1(x)y=ϕ2(x)
然后把f(x,y)dy里面的 x 当成参数,对 y 积分把 y 积掉
如果之前写的是∫cddy,就根据方程反解出{x=ϕ1(y)x=ϕ2(y)
然后把f(x,y)dy里面的 y 当成参数,对 x 积分把 x 积掉
这样子就把二重积分换成一重积分了
5.遇到积分积不出的被积函数改变积分次序————难点
有些被积函数是积分不了的,这时候就要换不同区域边界的次序来做(比如把x−区域换成y−区域),目的就是不要把那些积分不了的函数放在最里面那一层
积不出的函数 |
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∫e+−x2dx |
∫xsinxdx |
∫lnx1dx |
∫ex1dx |
改变积分区域次序的时候,要先从积分的上下限写出不等式,再根据不等式的等号情形的方程画出区域图,然后找准边界,这样才可以方便地改变次序
6.遇到凹进去的区域要切割成几个凸类型的图形
通常是采取切线或者啥的竖线或者横线切割
7.对称性————用的最多
如果把一个式子g(x,y) 的 x 替换为 −x,式子的值还是没有变g(−x,y)=g(x,y)
那么就说式子g(x,y) 是关于 x 偶对称的
所以如果把一个式子g(x,y) 的 x 替换为 −x,式子的值变成g(−x,y)=−g(x,y)
那么就说式子g(x,y) 是关于 x 奇对称的
在计算二重积分时,要先根据表达式/积分上下限范围判断区域边界的对称性,然后再判断被积函数的对称性,据此来避免一些不必要的计算
区域对称性 |
被积函数对称性 |
化简的效果 |
提示 |
关于x 偶对称 |
有关于x 奇对称的部分 |
那一部分积分值为0,不用算 |
关于积分区域关于 x 和y 都是偶对称的情况也适用,注意找全可以消掉的地方 |
关于x 偶对称 |
有关于x 偶对称的部分 |
那一部分的积分上下限可以缩减一半,只用积分值×2 来补充,一般用来去掉绝对值 |
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关于x 和y 都是偶对称 |
有关于x 和y 都是偶对称的部分 |
那一部分的积分上下限可以缩减到41,只用积分值×4 来补充,一般用来去掉绝对值 |
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8.换元成极坐标
极坐标在计算形式上把圆形区域转换成矩形区域
注意,前面对在xoy平面中 x−区域 和 y−区域 的理论都适用
注意换元的步骤,一换面积微元、二换积分上下限,三换被积函数
- 关键在于替换面积微元,在直角坐标中的dxdy 要换成极坐标的面积微元rdθdr,注意别漏 r,有它才算极坐标面积微元
- 一般选取dθ 在外层,注意极坐标下把r 看成从原点出发的向量,注意 r 的取值范围从原点开始,直到边界
换元后大概是下面这么个形式
∫αβdθ∫0r(θ)用θ表示rf(r,θ)⋅rdrdθ
还可以记一下与y 轴相切的圆大概是x=acosθ
与x 轴相切的大概是asinθ
注意了,在极坐标下,如果 θ 的取值是 0→2π 的话,那么 r 只能永远大于0,只能要半边
极坐标中常见的积分
积分 |
结果 |
∫cos2θdθ |
21θ+41sin2θ |
9.一般情况的换元
关键在于替换面积微元,可以利用雅可比行列式进行替换
J(雅可比行列式)=面积微元面积微元=dxdydudv=∂(x,y)∂(u,v)=uxuyvxvy
所以变换面积微元的时候先写dudv⋅dudvdxdy 再计算对应雅可比行列式。
具体而言就是对换元的多元方程求微分计算偏导,如果直接计算这个雅可比行列式的式子偏导比较难求,可以采用取倒数来计算新的雅可比行列式,这是一个重要的技巧
∂(x,y)∂(u,v)=∂(u,v)∂(x,y)1
10.利用二重积分算一重积不出来的函数
利用先确定一个有限的区域范围,求这个区域的二重积分(该二重积分可以被拆开成我们要的目标),然后把有限的范围参数取极限到无穷
如果要求∫0∞e−x2dx,就可以构造一个区域D:x2+y2≤R 在进行二重积分,最后让R 取 ∞
D∬e−(x2+y2)dxdy=4∫0Re−x2dx∫0Re−y2dy
常用积分结果结论
积分 |
结果 |
∫0∞e−x2dx |
2π |
11.计算区域为椭圆的二重积分
第一种方法是使用特殊的极坐标转换,对于区域为a2x2+b2y2=1
应该采取{x=arcosθy=brsinθ的换元,这方法计算雅可比行列式比较麻烦,可以直接记住下面的结论
dxdy=abr⋅drdθ
第二种方法就是使用两次换元
先是{x=auy=bv 把椭圆变成圆形,然后再对圆形的式子用正常极坐标换元
计算三重积分Ω∭f(x,y,z)dxdydz
三重积分的几何意义就是对一个体积区域 Ω 根据某个密度来重新计算一个对应的值出来
因为三重积分是三重的(废话),而我们的目的是要把它拆分成三个一元积分,于是可以把一次三重积分拆分成一次一重积分和一次二重积分(3=1+2),这样再计算二重积分就可以达到(3=1+1+1)的效果啦。于是计算三重积分的方法就只有下面的两种(3=2+1=1+2)
如果先算一重积分再算二重积分(3=1+2),就是所谓的投影法
如果先算二重积分再算一重积分(3=2+1),就是所谓的截面法
1.用投影法计算D∬dxdy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]
投影法就是仙女棒从顶上往下烧的感觉
先依照 Ω 的上面和下面的形状定制计算一个竖直的仙女棒(让z 先从下面积分到上面)
然后再把计算各个竖直高度上按照形状扩散出去的水平区域(之后xoy平面的计算二重积分)
如果要使用投影法,需要让那个 Ω 体积的侧面是竖直的(侧面可以退化成一条边缘线,比如从长方体退化成直角三棱锥,而如果是线的话,自然也是满足侧面竖直的),让侧面竖直是为了让我们找到投影出来的底面区域D。
还需要 Ω 体积的上面的面方程和下面的面方程已知,这是为了计算最里面的那个积分的上下限。如果遇到侧面退化成线的情况的话,那和线相邻的面分别就是下面和上面了(当然啦,毕竟和侧面相邻的就是这两个家伙嘛)
注意,侧面就是和投影面竖直匹配的那个东西(可以是真正竖直的面或者就是一条线),侧面、上面、下面的方程要严格按照 Ω 给出的条件选取。
而且要小心遇到上下面的方程是分段方程的情况。与侧面相邻的面固然是上面或者下面,但是如果根据侧面判断完相邻的面后,还剩下的面也是算入上下面里面的。最典型的例子就是圆台,它的侧面是退化成最外围的轮廓线,肯定还有一个和侧面不相邻的面剩下来(比如是个上宽下窄圆台的话,描述下面的方程就有两段,就会造成要对投影下来的区域分段讨论、分投影区域对应不同方程的下面)
总结一下,遇到三重积分要使用投影法的条件就是
- 侧面要和底面垂直(这在题目中基本都是遇到侧面退化成线的情况,要醒目哦)
- 上下面的方程要容易写出来(最好是统一的,不要分段)
- 投影下来的区域要好算
2.用截面法计算∫z1z2dzD(z)∬f(x,y,z)dxdy
截面法就是拿两个平面夹住的感觉
先计算某一个高度下的水平区域(先在某一个z 值下的xoy 平面进行二重积分)
然后再把这个水平区域在竖直方向上拉长填充到上面和下面(再把z 从一个值到另一个值积分)
首先要保证 Ω 的上面和下面都是水平的,如果不是水平的、平行于坐标平面的就用不了这个截面法。然后要确定z 的变化范围。
其次在写这个关于x 和y 的二重积分的时候,这个二重积分的区域就是之前的方程把z 当成参数/常数来处理得到。然后要单独画好积分区域的图
总结来说,遇到三重积分使用截面法的条件就是
- 上面和下面都是水平的(基本上在题目中遇到都是退化成一点,要醒目哟)
- 从z1 到z2 的任意时刻D(z) 方程都是统一的,并且容易写出来
3.对称性
和二重积分类似,对称性的本质就是抓紧区域对称性和被积函数对称性的关系,还是那个表格
一种应用场景是把一个幂次方式子拆成几个多项式,对拆出来的项单独分析
区域对称性 |
被积函数对称性 |
化简的效果 |
提示 |
关于x 偶对称 |
有关于x 奇对称的部分 |
那一部分积分值为0,不用算 |
关于积分区域关于 x 和y 都是偶对称的情况也适用,注意找全可以消掉的地方 |
关于x 偶对称 |
有关于x 偶对称的部分 |
那一部分的积分上下限可以缩减一半,只用积分值×2 来补充,一般用来去掉绝对值 |
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关于x 和y 都是偶对称 |
有关于x 和y 都是偶对称的部分 |
那一部分的积分上下限可以缩减到41,只用积分值×4 来补充,一般用来去掉绝对值 |
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在三重积分还没开始化简的时也可以使用对称性,这时候的区域对应的是一开始的立体区域Ω 而且要注意,在使用Ω区域的对称性来舍去其一些部分时,要注意被积函数是不是也有与Ω 区域匹配的对称性,如果没有就是不等效的。不然在下面到上面的积分是不一样的,不能代替
在使用轮换对称的时候要小心,很有可能由于对应关系不等效
4.把三重积分拆出二重积分后对二重积分使用极坐标
其实不推荐直接使用 “柱坐标系” 对三重积分拆成三个一重积分
而是推荐按照之前投影法和截面法的分析逻辑,先拆分出一个二重积分后再利用极坐标的计算去化简
5.球坐标系
记住球坐标系下的体积微元 dV=r2⋅sinϕ⋅dr⋅dϕ⋅dθ,然后顺便记住坐标对应的转换关系
⎩⎨⎧x=rsinϕ⋅cosθy=rsinϕ⋅sinθz=rcosϕ
注意,z 一定是等于rcosϕ 注意角度不要搞错了
遇到有球的一部分的体积就可以考虑用球坐标系
- 把体积微元 dV(dxdydz) 替换成 r2⋅sinϕ⋅dr⋅dϕ⋅dθ
- 然后根据坐标关系把 x,y,z 带换成 r,ϕ,θ
- 之后把它看成正常的三重积分
一般是在一个固定的 θ 角度去截取这个体积的一个切面
所以 θ 看起来就像高一样,然后 r,ϕ 就像在一个给定的 θ 角截面出来的图形的长和宽
一定要去画出来这个给定的 θ 角截面出来的图形,注意了,那个图形不是真正的截面,是有特殊要求的。因为 θ 角的旋转范围是0→2π,所以这里的 r 是永远大于0的,只能有半边,而且不要漏掉ϕ 可以从0→180°(也就是那个图形是一四象限都有的)
杂项
先想象或者画出 Ω 的形状,看看能不能利用一些对称性,注意分析一些退化的点线面,判断是用投影法还是截面法,或者使用球坐标系,然后画出二重积分区域图,在计算二重积分时考虑还能不能使用对称性或者极坐标化简
常见的 Ω 表达式 |
对应的形状 |
记忆提示 |
常用方法 |
z=x2+y2 |
旋转抛物面 |
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和球在一起就球坐标系、只有单独的就截面法 |
z=x2+y2 |
圆锥 |
分别令x=0或者y=0 看出轮廓线 |
和球在一起就球坐标系、只有单独的就截面法 |
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椭球/圆球 |
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先把椭球变成球,之后使用球坐标系、或者使用截面法 |
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圆台 |
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割补法,用大圆锥减去小圆锥 |
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球壳 |
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割补法,用大圆球减去小圆球 |
复习一些二次曲面的方程、遇到拿不准的方程分别令x=0或者y=0 看出轮廓线
壳形体积,圆台形体积或者圆环形的区域可以拆分成一个积分减去一个积分,使用割补法计算
如果体积区域 Ω 同时关于 x,y,z 轴对称,那么有下面的公式
Ω∭x2dV=Ω∭y2dV=Ω∭z2dV
计算一些物理量
下面是用多重积分计算物理量的常用算式
计算物理量 |
公式 |
质量 |
M=∭ρ(x,y,z)dV |
质心 |
解三个方程 0=⎩⎨⎧∭(x−x0)ρ(x,y,z)dV∭(y−y0)ρ(x,y,z)dV∭(z−z0)ρ(x,y,z)dV |
对 z 轴的转动惯量 |
Jz=∭(x2+y2)ρ(x,y,z)dV |