多重积分

笔记来源 讲课老师
中山大学工科高数课堂 @杨奇林

多重积分要学会认识退化，把多重积分退化成二重积分，二重积分退化从一重积分
要知道把区域从标准的形状退化成特殊的情况

要重点记忆二重积分和三重积分几个经典模型的图形，要先认清那些图形来找到对应的方法
至于计算那就是后话了

一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性

区域对称性 被积函数对称性 化简的效果 提示
关于xx 偶对称 有关于xx 奇对称的部分 那一部分积分值为0，不用算 关于积分区域关于 xx 和yy 都是偶对称的情况也适用，注意找全可以消掉的地方
关于xx 偶对称 有关于xx 偶对称的部分 那一部分的积分上下限可以缩减一半，只用积分值×2\times 2 来补充，一般用来去掉绝对值
关于xx 和yy 都是偶对称 有关于xx 和yy 都是偶对称的部分 那一部分的积分上下限可以缩减到14\frac{1}{4}，只用积分值×4\times 4 来补充，一般用来去掉绝对值

计算二重积分∬Df(x,y)dxdy\iint \limits_{D}f(x,y)dxdy

二重积分的几何意义就是求一个底面区域到顶面的体积，其中的被积函数就是顶面的方程、积分范围是底面区域、面积微元就是底面区域的面积微元

计算二重积分的关键就在于抓准底面区域的边界
一定要注意区域边界退化的情况(线退化成点，面退化成线)

∬Df(x,y)dxdy=底面区域{选x−区域，把x看成常数，把y积掉:∫abdx[∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy]选y−区域，把y看成常数，把x积掉:∫cddy[∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx]\iint \limits_{D} f(x,y)dxdy=底面区域\begin{cases}选x-区域，把x看成常数，把y积掉:\int_{a}^{b}dx[\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy]\\选y- 区域，把y看成常数，把x积掉:\int_{c}^{d}dy[\int_{\phi_{1}(y)}^{\phi_{2}(y)}f(x,y)dx]\end{cases}\\

记忆这个公式的方法就是，选定区域后先写最外面的一层积分，最外面的一层积分是常数。
然后再写里面的对被积函数的积分，里面的积分上下限是根据区域边界的函数线。
注意写积分上下限的时候要注意方向(这个看区域边界的方向)

对于一般的多重积分，要从最里面的往外开始计算(三重积分化简到二重积分里面用得到)

∫abdx∫cddy∫ϕ1(x,y)ϕ2(x,y)f(x,y,z)du\begin{align} \int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}dy\int_{\phi_{1}(x,y)}^{\phi_{2}(x,y)}f(x,y,z)du \end{align}

要先计算最里面的那个

1.首先找准被积函数f(x,y)f(x,y)

看准被积函数f(x,y)f(x,y)是长啥样的，注意分析f(x,y)f(x,y)的x,yx,y 变量是否是相互独立的
如果发现x,y,zx,y,z 是相互独立的，原来按顺序积分的二重积分就可以化简成两个相乘的一重积分

因为x,y,z相互独立，所以f(x,y,z)=p(x)g(y)h(z)∬Df(x,y,z)dxdydz=∫p(x)dx∫g(y)dy∫h(z)dz\begin{align} 因为x,y,z相互独立，所以f(x,y,z)=p(x)g(y)h(z) \\ \iint \limits_{D} f(x,y,z)dxdydz=\int p(x)dx \int g(y)dy \int h(z)dz \end{align}

比如f(x,y)=ex+yf(x,y)=e^{x+y} 就是相互独立的，可以拆成f(x,y)=ex.eyf(x,y)=e^{x}.e^{y}

然后再看看被积函数f(x,y)f(x,y) 关于x,yx,y 变量是不是奇对称或者偶对称的，注意这一步可以先把整体的f(x,y)f(x,y) 看着拆分成一个个关于xx 或yy 的小单元，只要有一个单元有对称性就是胜利

2.然后分析DD区域的边界

一定要通过分析各个积分上下限列出各个变量的不等式，然后把区域DD 画图画出来
之后好好分析区域的边界

注意，还要根据积分上下限得出的描述区域的方程看一下，区域DD 是否关于x,yx,y 变量具有奇对称or偶对称，如果有对称性就是幸运中的幸运

在xoyxoy 平面中，这些区域的边界就是 过轴上两个点的竖线+两条函数线\boxed{过轴上两个点的竖线+两条函数线}
也就是说 x−x-区域 就是 过x轴上两个点的竖线+两条y=ϕ(x)函数线过x轴上两个点的竖线+两条y=\phi(x)函数线
相应的 y−y-区域 就是 过y轴上两个点的竖线+两条x=ϕ(y)函数线过y轴上两个点的竖线+两条x=\phi(y)函数线

注意区域边界从线退化成点的情况(就比如矩形退化成三角形，有一条线退化成点)，也就是说对于那两条竖线，有时候不一定只有 x=Constx=Const 或者 y=Consty=Const 之类的符合区域图形的竖线，有时候也要把它们看成过区域图形某个点的切线

然后决定是以 x−x-区域 还是 y−y-区域 去做，注意看清 x,yx,y 变量的取值范围
最好选择的区域的函数曲线是统一的线形，尽量不要有分段函数(如果没办法的话，注意最外层的拆分积分上下限来对应不同的曲线来做)

3.先写∫abdx\int_{a}^{b}dx或者∫cddy\int_{c}^{d}dy

这个积分号上下限的顺序很重要，这个上下限一定要是常数

而且它们的顺序就反应了区域边界的顺序，越靠近坐标轴的边界越大(选择上限的位置)

4.再根据区域边界的函数曲线方程反解，然后写∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}f(x,y)dy或者∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx\int_{\phi_{1}(y)}^{\phi_{2}(y)}f(x,y)dx

如果之前写的是∫abdx\int_{a}^{b}dx，就根据方程反解出{y=ϕ1(x)y=ϕ2(x)\begin{cases}y=\phi_{1}(x) \\ y=\phi_{2}(x)\end{cases}
然后把f(x,y)dyf(x,y)dy里面的 xx 当成参数，对 yy 积分把 yy 积掉

如果之前写的是∫cddy\int_{c}^{d}dy，就根据方程反解出{x=ϕ1(y)x=ϕ2(y)\begin{cases}x=\phi_{1}(y) \\ x=\phi_{2}(y)\end{cases}
然后把f(x,y)dyf(x,y)dy里面的 yy 当成参数，对 xx 积分把 xx 积掉

这样子就把二重积分换成一重积分了

5.遇到积分积不出的被积函数改变积分次序————难点

有些被积函数是积分不了的，这时候就要换不同区域边界的次序来做(比如把x−x-区域换成y−y-区域)，目的就是不要把那些积分不了的函数放在最里面那一层

积不出的函数
∫e+−x2dx\boxed{\int e^{+-x^2}dx} ∫sin⁡xxdx\boxed{\int\frac{\sin x}{x}dx} ∫1ln⁡xdx\boxed{\int \frac{1}{\ln x}dx} ∫e1xdx\boxed{\int e^{\frac{1}{x}}dx}

改变积分区域次序的时候，要先从积分的上下限写出不等式，再根据不等式的等号情形的方程画出区域图，然后找准边界，这样才可以方便地改变次序

6.遇到凹进去的区域要切割成几个凸类型的图形

通常是采取切线或者啥的竖线或者横线切割

7.对称性————用的最多

如果把一个式子g(x,y)g(x,y) 的 xx 替换为 −x-x，式子的值还是没有变g(−x,y)=g(x,y)g(-x,y)=g(x,y)
那么就说式子g(x,y)g(x,y) 是关于 xx 偶对称的

所以如果把一个式子g(x,y)g(x,y) 的 xx 替换为 −x-x，式子的值变成g(−x,y)=−g(x,y)g(-x,y)=-g(x,y)
那么就说式子g(x,y)g(x,y) 是关于 xx 奇对称的

在计算二重积分时，要先根据表达式/积分上下限范围判断区域边界的对称性，然后再判断被积函数的对称性，据此来避免一些不必要的计算

区域对称性 被积函数对称性 化简的效果 提示
关于xx 偶对称 有关于xx 奇对称的部分 那一部分积分值为0，不用算 关于积分区域关于 xx 和yy 都是偶对称的情况也适用，注意找全可以消掉的地方
关于xx 偶对称 有关于xx 偶对称的部分 那一部分的积分上下限可以缩减一半，只用积分值×2\times 2 来补充，一般用来去掉绝对值
关于xx 和yy 都是偶对称 有关于xx 和yy 都是偶对称的部分 那一部分的积分上下限可以缩减到14\frac{1}{4}，只用积分值×4\times 4 来补充，一般用来去掉绝对值

8.换元成极坐标

极坐标在计算形式上把圆形区域转换成矩形区域
注意，前面对在xoyxoy平面中 x−x-区域 和 y−y-区域 的理论都适用

注意换元的步骤，一换面积微元、二换积分上下限，三换被积函数

  1. 关键在于替换面积微元，在直角坐标中的dxdydxdy 要换成极坐标的面积微元rdθdr\boxed{rd\theta dr}，注意别漏 rr，有它才算极坐标面积微元
  2. 一般选取dθd\theta 在外层，注意极坐标下把rr 看成从原点出发的向量，注意 rr 的取值范围从原点开始，直到边界

换元后大概是下面这么个形式

∫αβdθ∫0r(θ)用θ表示rf(r,θ)⋅rdrdθ\begin{align*} \int_{\alpha}^{\beta}d\theta \int_{0}^{r(\theta)用\theta表示r}f(r,\theta)·rdrd\theta \end{align*}

还可以记一下与yy 轴相切的圆大概是x=acos⁡θx=a\cos \theta
与xx 轴相切的大概是asin⁡θa\sin \theta

注意了，在极坐标下，如果 θ\theta 的取值是 0→2π0 \to 2\pi 的话，那么 rr 只能永远大于0，只能要半边

极坐标中常见的积分

积分 结果
∫cos⁡2θdθ\int \cos^{2} \theta d\theta 12θ+14sin⁡2θ\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta

9.一般情况的换元

关键在于替换面积微元，可以利用雅可比行列式进行替换

J(雅可比行列式)=面积微元面积微元=dudvdxdy=∂(u,v)∂(x,y)=∣uxvxuyvy∣\begin{align*} \boxed{J(雅可比行列式)=\frac{面积微元}{面积微元}= \frac{dudv}{dxdy } =\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left |\begin{matrix} u_{x}& v_{x}\\ u_{y}&v_{y}\end{matrix}\right|} \end{align*}

所以变换面积微元的时候先写dudv⋅dxdydudvdudv· \frac{dxdy}{dudv} 再计算对应雅可比行列式。

具体而言就是对换元的多元方程求微分计算偏导，如果直接计算这个雅可比行列式的式子偏导比较难求，可以采用取倒数来计算新的雅可比行列式，这是一个重要的技巧

∂(u,v)∂(x,y)=1∂(x,y)∂(u,v)\begin{align*} \boxed{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\frac{1}{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}} \end{align*}

10.利用二重积分算一重积不出来的函数

利用先确定一个有限的区域范围，求这个区域的二重积分(该二重积分可以被拆开成我们要的目标)，然后把有限的范围参数取极限到无穷

如果要求∫0∞e−x2dx\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx，就可以构造一个区域D:x2+y2≤RD: x^{2}+y^{2} \le R 在进行二重积分，最后让RR 取 ∞\infty

∬De−(x2+y2)dxdy=4∫0Re−x2dx∫0Re−y2dy\begin{align*} \iint \limits_{D} e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=4\int_{0}^{R}e^{-x^{2}}dx\int_{0}^{R}e^{-y^{2}}dy \end{align*}

常用积分结果结论

积分 结果
∫0∞e−x2dx\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx π2\frac{\sqrt{\pi}}{2}

11.计算区域为椭圆的二重积分

第一种方法是使用特殊的极坐标转换，对于区域为x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
应该采取{x=arcos⁡θy=brsin⁡θ\begin{cases}x=ar\cos\theta \\y=br\sin\theta\end{cases}的换元，这方法计算雅可比行列式比较麻烦，可以直接记住下面的结论

dxdy=abr⋅drdθ\boxed{dxdy=abr ·drd\theta}

第二种方法就是使用两次换元
先是{x=auy=bv\begin{cases}x=au \\ y=bv\end{cases} 把椭圆变成圆形，然后再对圆形的式子用正常极坐标换元

计算三重积分∭Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint \limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz

三重积分的几何意义就是对一个体积区域 Ω\Omega 根据某个密度来重新计算一个对应的值出来

因为三重积分是三重的(废话)，而我们的目的是要把它拆分成三个一元积分，于是可以把一次三重积分拆分成一次一重积分和一次二重积分(3=1+23=1+2)，这样再计算二重积分就可以达到(3=1+1+13=1+1+1)的效果啦。于是计算三重积分的方法就只有下面的两种(3=2+1=1+23=2+1=1+2)

如果先算一重积分再算二重积分(3=1+23=1+2)，就是所谓的投影法
如果先算二重积分再算一重积分(3=2+13=2+1)，就是所谓的截面法

1.用投影法计算∬Ddxdy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]\iint \limits_{D} dxdy[\int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz]

投影法就是仙女棒从顶上往下烧的感觉
先依照 Ω\Omega 的上面和下面的形状定制计算一个竖直的仙女棒(让zz 先从下面积分到上面)
然后再把计算各个竖直高度上按照形状扩散出去的水平区域(之后xoyxoy平面的计算二重积分)

如果要使用投影法，需要让那个 Ω\Omega 体积的侧面是竖直的(侧面可以退化成一条边缘线，比如从长方体退化成直角三棱锥，而如果是线的话，自然也是满足侧面竖直的)，让侧面竖直是为了让我们找到投影出来的底面区域DD。

还需要 Ω\Omega 体积的上面的面方程和下面的面方程已知，这是为了计算最里面的那个积分的上下限。如果遇到侧面退化成线的情况的话，那和线相邻的面分别就是下面和上面了(当然啦，毕竟和侧面相邻的就是这两个家伙嘛)

注意，侧面就是和投影面竖直匹配的那个东西(可以是真正竖直的面或者就是一条线)，侧面、上面、下面的方程要严格按照 Ω\Omega 给出的条件选取。

而且要小心遇到上下面的方程是分段方程的情况。与侧面相邻的面固然是上面或者下面，但是如果根据侧面判断完相邻的面后，还剩下的面也是算入上下面里面的。最典型的例子就是圆台，它的侧面是退化成最外围的轮廓线，肯定还有一个和侧面不相邻的面剩下来(比如是个上宽下窄圆台的话，描述下面的方程就有两段，就会造成要对投影下来的区域分段讨论、分投影区域对应不同方程的下面)

总结一下，遇到三重积分要使用投影法的条件就是

  1. 侧面要和底面垂直(这在题目中基本都是遇到侧面退化成线的情况，要醒目哦)
  2. 上下面的方程要容易写出来(最好是统一的，不要分段)
  3. 投影下来的区域要好算

2.用截面法计算∫z1z2dz∬D(z)f(x,y,z)dxdy\int_{z_{1}}^{z_{2}}dz \iint \limits_{D(z)}f(x,y,z)dxdy

截面法就是拿两个平面夹住的感觉
先计算某一个高度下的水平区域(先在某一个zz 值下的xoyxoy 平面进行二重积分)
然后再把这个水平区域在竖直方向上拉长填充到上面和下面(再把zz 从一个值到另一个值积分)

首先要保证 Ω\Omega 的上面和下面都是水平的，如果不是水平的、平行于坐标平面的就用不了这个截面法。然后要确定zz 的变化范围。

其次在写这个关于xx 和yy 的二重积分的时候，这个二重积分的区域就是之前的方程把zz 当成参数/常数来处理得到。然后要单独画好积分区域的图

总结来说，遇到三重积分使用截面法的条件就是

  1. 上面和下面都是水平的(基本上在题目中遇到都是退化成一点，要醒目哟)
  2. 从z1z_{1} 到z2z_{2} 的任意时刻D(z)D(z) 方程都是统一的，并且容易写出来

3.对称性

和二重积分类似，对称性的本质就是抓紧区域对称性和被积函数对称性的关系，还是那个表格
一种应用场景是把一个幂次方式子拆成几个多项式，对拆出来的项单独分析

区域对称性 被积函数对称性 化简的效果 提示
关于xx 偶对称 有关于xx 奇对称的部分 那一部分积分值为0，不用算 关于积分区域关于 xx 和yy 都是偶对称的情况也适用，注意找全可以消掉的地方
关于xx 偶对称 有关于xx 偶对称的部分 那一部分的积分上下限可以缩减一半，只用积分值×2\times 2 来补充，一般用来去掉绝对值
关于xx 和yy 都是偶对称 有关于xx 和yy 都是偶对称的部分 那一部分的积分上下限可以缩减到14\frac{1}{4}，只用积分值×4\times 4 来补充，一般用来去掉绝对值

在三重积分还没开始化简的时也可以使用对称性，这时候的区域对应的是一开始的立体区域Ω\Omega 而且要注意，在使用Ω\Omega区域的对称性来舍去其一些部分时，要注意被积函数是不是也有与Ω\Omega 区域匹配的对称性，如果没有就是不等效的。不然在下面到上面的积分是不一样的，不能代替

在使用轮换对称的时候要小心，很有可能由于对应关系不等效

4.把三重积分拆出二重积分后对二重积分使用极坐标

其实不推荐直接使用 “柱坐标系” 对三重积分拆成三个一重积分
而是推荐按照之前投影法和截面法的分析逻辑，先拆分出一个二重积分后再利用极坐标的计算去化简

5.球坐标系

记住球坐标系下的体积微元 dV=r2⋅sin⁡ϕ⋅dr⋅dϕ⋅dθdV=r^{2}·\sin \phi ·dr ·d\phi ·d \theta，然后顺便记住坐标对应的转换关系

{x=rsin⁡ϕ⋅cos⁡θy=rsin⁡ϕ⋅sin⁡θz=rcos⁡ϕ\begin{cases}x=r \sin \phi ·\cos \theta \\ y=r \sin \phi ·\sin \theta \\ z=r \cos \phi\end{cases}

注意，zz 一定是等于rcos⁡ϕ\boxed{r \cos \phi} 注意角度不要搞错了

遇到有球的一部分的体积就可以考虑用球坐标系

  1. 把体积微元 dVdV(dxdydzdxdydz) 替换成 r2⋅sin⁡ϕ⋅dr⋅dϕ⋅dθr^{2}·\sin \phi ·dr ·d\phi ·d \theta
  2. 然后根据坐标关系把 x,y,zx,y,z 带换成 r,ϕ,θr,\phi,\theta
  3. 之后把它看成正常的三重积分

一般是在一个固定的 θ\theta 角度去截取这个体积的一个切面
所以 θ\theta 看起来就像高一样，然后 r,ϕr,\phi 就像在一个给定的 θ\theta 角截面出来的图形的长和宽

一定要去画出来这个给定的 θ\theta 角截面出来的图形，注意了，那个图形不是真正的截面，是有特殊要求的。因为 θ\theta 角的旋转范围是0→2π0\to 2\pi，所以这里的 rr 是永远大于0的，只能有半边，而且不要漏掉ϕ\phi 可以从0→180°0 \to 180°(也就是那个图形是一四象限都有的)

杂项

先想象或者画出 Ω\Omega 的形状，看看能不能利用一些对称性，注意分析一些退化的点线面，判断是用投影法还是截面法，或者使用球坐标系，然后画出二重积分区域图，在计算二重积分时考虑还能不能使用对称性或者极坐标化简

常见的 Ω\Omega 表达式 对应的形状 记忆提示 常用方法
z=x2+y2z=x^{2}+y^{2} 旋转抛物面 和球在一起就球坐标系、只有单独的就截面法
z=x2+y2z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} 圆锥 分别令x=0x=0或者y=0y=0 看出轮廓线 和球在一起就球坐标系、只有单独的就截面法
椭球/圆球 先把椭球变成球，之后使用球坐标系、或者使用截面法
圆台 割补法，用大圆锥减去小圆锥
球壳 割补法，用大圆球减去小圆球

复习一些二次曲面的方程、遇到拿不准的方程分别令x=0x=0或者y=0y=0 看出轮廓线

壳形体积，圆台形体积或者圆环形的区域可以拆分成一个积分减去一个积分，使用割补法计算

如果体积区域 Ω\Omega 同时关于 x,y,zx,y,z 轴对称，那么有下面的公式

∭Ωx2dV=∭Ωy2dV=∭Ωz2dV\iiint \limits_{\Omega} x^{2}dV=\iiint \limits_{\Omega} y^{2}dV=\iiint \limits_{\Omega} z^{2}dV

计算一些物理量

下面是用多重积分计算物理量的常用算式

计算物理量 公式
质量 M=∭ρ(x,y,z)dVM=\iiint \rho(x,y,z) dV
质心 解三个方程 0={∭(x−x0)ρ(x,y,z)dV∭(y−y0)ρ(x,y,z)dV∭(z−z0)ρ(x,y,z)dV0=\begin{cases}\iiint (x-x_{0})\rho(x,y,z) dV \\ \iiint (y-y_{0})\rho(x,y,z) dV \\ \iiint (z-z_{0})\rho(x,y,z) dV\end{cases}
对 zz 轴的转动惯量 Jz=∭(x2+y2)ρ(x,y,z)dVJ_{z}=\iiint (x^{2}+y^{2})\rho(x,y,z)dV